Exercise
⊕
Problem
16
你好，这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题，其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分，实分析，复分析)
——————Alina Lagrange
Prove that if
f
is continuous, of moderate decrease, and
∫
R
f
(
y
)
e
−
y
2
e
2
x
y
d
y
=
0
for all
x
∈
R
, then
f
=
0
.
P
r
o
o
f
.
Let
g
(
x
)
=
e
−
x
2
. Then
(
f
∗
g
)
(
x
)
=
∫
R
f
(
y
)
e
−
(
x
−
y
)
2
d
y
=
e
−
x
2
∫
R
f
(
y
)
e
−
y
2
e
2
x
y
d
y
=
0
.
for all
x
. This implies that
f
∗
g
^
(
ξ
)
=
f
^
(
ξ
)
g
^
(
ξ
)
=
f
^
(
ξ
)
π
e
−
π
2
ξ
2
=
0
for all
ξ
. So
f
^
=
0
. And hence
f
=
0
.
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